Modelo 6 de sobrantes de 1996

Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Instrucciones

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

modelo 6 de sobrantes de 1996 - Opción A

Ejercicio 1. (a) (1'5 puntos]. Calcula, de manera razonada, todas las funciones f: R → R que verifican

(b) [1 punto]. Estudia la derivabilidad de cada una de las funciones f halladas.

Ejercicio 2. [2'5 puntos]. En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta y a 500 metros río arriba se ha construido una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta eléctrica y la fabrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta 1.200 ptas. el metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta 2.000 ptas. el metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica? 

Ejercicio 3. (a) [1'5 puntos]. Discute el siguiente sistema según los valores del número real a:

ax + 2y + 3z = 1,

ay + 4 z = 0,

x – y + z = 0,

(b) [1 punto]. Resuélvelo para a = -1

Ejercicio 4.- (a) [1’25 puntos]. Determina las ecuaciones de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano determinado por el punto (1,1,1) y la recta de ecuaciones r ≡

(b) [1’25 puntos]. El mismo problema pero para la recta de ecuaciones s ≡

modelo 6 de sobrantes de 1996 - Opción B

Ejercicio 1. Sea f: R → R la función polinómica dada por f(x) = -2x3 + 15x2 – 24x + 80.

(a) [1 punto]. Determina el intervalo [a, b] en el que f es creciente.

(b) [1'5 puntos]. Calcula el área limitada por la parte de la gráfica de f correspondiente al intervalo [a, b], el eje OX y las rectas x = a y x = b

Ejercicio 2. De las siguientes afirmaciones, hechas sobre una función f: R → R, ¿cuáles DEBEN ser ciertas, PUEDEN ser ciertas en algunas ocasiones o NUNCA son ciertas? Justifica, las respuestas; en el caso de una respuesta "PUEDE" debes dar un ejemplo en el que la correspondiente afirmación sí es cierta y otro en el que no es cierta.

(a) [0'75 puntos]. Si lim x → 0 = 1 y f es continua entonces f(0) = 1.

(b) (0'75 puntos]. Si lim x → 0 = 3 entonces f '(0) = 3.

(c) [1 punto]. Si lim x → 0 = 3 entonces y = 3x + 1 es la ecuación de, la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.

Ejercicio 3.  (a) [1'5 puntos]. En el segmento cuyos extremos son los puntos A = (1,2) y B = (2,3) hay un punto P tal que la relación que existe entre los vectores PA y PB es la siguiente: PA = 3/2PB Halla P.

(b) [1 punto]. Halla la ecuación de la circunferencia con centro en P y que pasa por el origen de coordenadas. 

Ejercicio 4.  [2'5 puntos]. Una ganadera da a su ganado una mezcla de dos tipos de piensos A y B. Un kilo del pienso A proporciona a una res el 6% de sus necesidades diarias de proteínas y el 14% de sus necesidades de carbohidratos. Un kilo del pienso B contiene el 35% del requerimiento diario de proteínas y el 15% del de carbohidratos. Si la ganadera desea que su ganado tenga cubiertas, pero sin excedentes, sus necesidades diarias de proteínas y carbohidratos, ¿cuántos kilos diarios de cada tipo de pienso deberá proporcionar a rada res?