Ejercicio nº
1 de la opción A del modelo 1 de 1997
(a) De todas tangentes a la gráfica de la función f : R → R definida por f(x) = e x - 1 , halla la que pasa por el origen de coordenadas.
(b) Dibuja la región limitada por la gráfica de f, la recta tangente hallada en el punto anterior y el eje de ordenadas..
(b) Halla el área de la región descrita en el apartado anterior.
Solución
(a)
f(x) = e x-1, su recta tangente en el punto x = a es y - f(a) = f ' (a).(x - a).
En nuestro caso como f ' (x) = e x - 1, la recta tangente es y - ea - 1 = ea - 1.(x - a).
Como pasa por el origen de coordenadas (0,0), tenemos
0 - ea - 1 = ea - 1.(0 - a); de donde obtenemos ea - 1.(a - 1) = 0 , como la exponencial nunca es cero obtenemos como solución a = 1.
Sustituyendo en la ecuación y - ea - 1 = ea - 1.(x - a) sale
y - e1 - 1 = e1 - 1.(x - 1); como e0 = 1, operando sale que la recta tangente en (0,0) es y = x.
(b)
La gráfica de f(x) = e x - 1 (en rojo) es igual que la de ex, pero desplazada una unidad a la derecha en el eje de abscisas.
La gráfica de y = x (en azul) es una recta y con dos valores es suficiente.
(c)
Para hallar el área encerrada por dos funciones tenemos que ver sus puntos de corte, es decir las soluciones de ex - 1 = x. Como se observa dándole a x el valor 1 coinciden
= (e0 - 1/2) - (e-1 -0) ≈ 0'1321 u.a.