Ejercicio nº
2 de la opción A del modelo 1 de 1997
El alcalde de un pueblo quiere cercar un recinto rectangular cerrado para celebrar las fiestas. Para ello aprovecha una tapia existente como uno de los lados y dispone de 300 m. de tela metálica para hacer los otros tres.
(a) ¿Podrías indicar las dimensiones del recinto acotado de esa forma cuya área es la mayor posible?
(b) La comisión de fiestas del pueblo ha calculado que para montar las atracciones, pista de baile, etc., necesitan 8000 m2. Teniendo en cuenta los cálculos realizados en el apartado anterior, ¿será suficientemente grande el recinto que quiere preparar el alcalde?
Solución
(a)
El área del rectángulo sería A = x.y, y la relación entre las variables es 2y + x = 300, de donde x = 300 - 2y.
La función a maximizar será A = x.y = (300 - 2y).y = 300y - 2y2.
A ' = 300 - 4y; A' = 0, nos da 300 - 4y = 0, de donde y = 75 y x = 300 - 2(75) = 150
Obtenemos un rectángulo donde x = 150 m. e y = 75 m.
Comprobamos que es un máximo, pues A '' = - 4 < 0, lo que me lo confirma.
(b)
el área es A = x.y = 75.150 = 11250 m2.
Como se necesitan 8000 m2, todavía nos sobran 3250 m2.