Ejercicio nº
1 de la opción B del modelo 1 de 1997
De una función f se sabe que es polinómica de tercer grado, que sus primeras derivadas en los puntos x = 3 y x = - 1 son nulas, que f(2) = 5, que f(1) = 2 y que lim x → - ∞ f(x) = + ∞ . Haz un esbozo de la gráfica de f sin realizar ningún cálculo justificando como lo haces a partir de los datos
Solución
(a)
Como f(x) es de tercer grado es de la forma f(x) = ax3 + bx2 +cx +d
Como me dicen que f ' (-1) = 0 y f ' (3) = 0, me están diciendo que x = -1 y x = 3 son posibles máximos o mínimos de f(x).
Al decirme que lim x → - ∞ f(x) = + ∞ me están diciendo que la función viene desde + ∞ , que el coeficiente de x3, a es negativo, y como es de tercer grado la función vale - ∞ en + ∞ .
Al decirme que f(1) = 2 y que f(2) = 5, como en x = 3 hay un posible máximo o mínimo, veo que va creciendo y como en + ∞ vale - ∞ . En x = 3 hay un máximo y en x = -1 un mínimo.
Por tanto un esbozo de la gráfica sería:
La función se puede calcular, y lo vamos a hacer aunque no lo pidan:
f(x) = ax3 + bx2 +cx +d
f ' (x) = 3ax2 + 2bx +c
De f(2) = 5 y f(1) = 2 , sustituyendo en f(x) obtenemos:
2 = a + b +c + d
5 = 8a + 4b + 2c + d
De f ' (-1) = 0 y f ' (3) = 0 , sustituyendo en f ' (x) obtenemos:
0 = 3a -2b + c
0 = 27a + 6b + c
Resolviendo estas cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas se obtiene
a = -3/11, b = 9/11, c = 27/11, d = -11/11= -1 y la función es
f(x) = -3/11x3 + 9/11x2 + 27/11x - 1