a) Halla el punto de inflexión de la función f : R → R definida por f(x) = x.e ^{- x}.

(b) Dibuja la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y la recta x = b donde b es la abscisa del punto de inflexión hallado en el apartado anterior.

(c) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior

(a)

Los puntos de inflexión de f(x) anulan f '' (x) = 0, y después hay que ver que cambia de signo a izquierda y derecha de dichos puntos.

f(x) = x.e ^{- x}

f ' (x) = e ^{- x} +x. e ^{- x}.(-1) = e ^{- x}(1 - x).

Si igualamos f ' (x) = 0 nos sale x = 1 (la exponencial nunca se anula), que será un posible máximo o mínimo ( lo veremos en el apartado (b)

f '' (x) = e ^{- x}.(-1).(1 - x) + e ^{- x}(-1) = e ^{- x}(x - 2).

Igualando a cero, f '' (x) = 0, como la exponencial no es cero obtenemos x = 2.

Como f ''(x) < 0 si x < 2, f(x) es "cóncava" (en Andalucía, es decir de la forma ∩ )

Como f ''(x) > 0 si x > 2, f(x) es "convexa" (en Andalucía, es decir de la forma U )

Luego x = 2 es punto de inflexión pues en él hay cambio de concavidad

(b)

Vamos a dibujar la gráfica de f(x), entre el eje de abscisas y la recta x = 2

El dominio de f(x) es R

lim _{x → - ∞} f(x) = - ∞

lim _{x → + ∞} f(x) = 0, por tanto la recta y = 0, es una asíntota horizontal en + ∞

x = 1 anula f ' (x)

Como f '(x) > 0 si x < 1, f(x) es creciente en x < 1

Como f '(x) < 0 si x > 1, f(x) es decreciente en x > 1

Por definición en x = 1 hay un máximo.

Luego la gráfica pedida es

(c)

Calculamos primero la integral x.e ^-e dx, que es por partes

u = x; dv = e^-xdx, con lo cual du = dx, v = e ^-xdx = - e ^-x y aplicando la fórmula de las integrales por partes udv = uv - v du, obtenemos

x.e ^-x dx = -x.e ^{- x} + e ^-x dx = -x.e ^{- x} - e ^{- x}

= ( -2.e ^-2 - e ^-2 ) - ( 0 - e⁰ ) ≈ 0'593994 u.a.