Ejercicio nº
3 de la opción B del modelo 1 de 1997
(a) Define lo que son vectores linealmente independientes en R3.
(b) Prueba que los vectores u = (2, -1, 0 ) y v =( 1, 0, 1 ) son linealmente independientes.
(c) Halla el valor de t para el cual el vector w = ( 8, -5, t ) depende linealmente de u y v.
Solución
(a)
Los vectores vi con i = 1, 2, ....., n son linealmente independientes si y solo si la expresión λ1v1 + λ2v2 + ........ + λnvn = 0 es cierta con todos los λ i = 0 .
(b)
En nuestro caso au + bv = 0
a(2,-1,0) + b(1,0,1) = (0,0,0). Operando
(2a + b, -a, b) = (0,0,0). Igualando tenemos
2a + b = 0, -a = 0, b = 0, de donde a = b = 0 y los vectores u y v son linealmente independientes
(c)
Para que w dependa linealmente de u y v se tiene que verificar que w = au +bv
w = au +bv sustituyendo
(8,-5,t) = a(2,-1,0) + b(1,0,1) = (2a + b, -a, b). Igualando tenemos
2a + b = 8, -a = -5, b = t, de donde obtenemos a = 5, b = -2 y t = -2, para que sean dependientes.