Ejercicio nº
4 de la opción B del modelo 1 de 1997
(a) Para los diferentes valores del parámetro real a estudia la posición relativa de los planos dados por:
π1 : x+y+z = a-1
π2 : 2x+y+az = a
π3 : x+ay+z = 1
(b) si a = - 1, ¿en qué punto se cortan?
Solución
(a)
Sean A y A* la matriz de os coeficientes y la matriz ampliada del sistema
y 
Si | A| ¹ 0, el sistema tiene solución única
= 1. (- (a - 2)(a -1) )
Si a ≠ 2 y a ≠ 1, el sistema tiene solución única, y los tres planos se cortan en un punto.
Si a = 2
Tenemos |
A|
= 0, y como 
, rango (A) = 2
En A*, 
, por tanto rango(A*) = 2
Por el Teorema de Rouché-Frobeniüs rango(A) = rango(A*), el sistema tiene solución, y los tres planos se cortan en una recta. Además un plano depende de los otros dos.
Si a = 1
Tenemos |
A|
= 0, y como , rango (A) = 2
En A*, 
, por tanto rango(A*) = 3
Por el Teorema de Rouché-Frobeniüs como rango(A) ≠ rango(A*), el sistema no tiene solución, y tenemos dos planos paralelos cortados por el otro.
(b)
≠, nuestro sistema es
x+y+z=-2
2x+y-z=-1
x-y+z=1
Operando con las ecuaciones tenemos
x+y+z=-2
0-y-3z=3
0-2y+0=3
y sus soluciones son y = -3/2, z = -1/2, x = 0. por tanto los tres planos se cortan en el punto (x,y,z) = (0,-3/2,-1/2)