Considera la función f : R → R definida para por la relación f(x) = (4x² + 3x + 4)/x 

(a) Halla sus asíntotas.

(b) Determina sus extremos locales.

(c) Dibuja la gráfica de f indicando su posición respecto de las asíntotas.

(a)

Como lim _{x → o+} f(x) = + ∞ , la recta x = 0 es una asíntota vertical de f(x).

Como en f(x) el numerador es de un grado mas que el denominador, tiene una asíntota oblicua del tipo y = mx + n con:

m = lim _{x → + ∞} [f(x) / x ] = 4

es decir la asíntota oblicua es y = 4x + 3

(b)

Estudiamos f ' (x), pues sus soluciones son sus posibles máximos o mimos

f ' (x) = 0, nos da 4x² - 4 = 0, de donde x = ± 1 que son los posibles máximos o mínimos.

Si x < - 1, f ' (x) > 0, luego f(x) es creciente

Si - 1 < x < 1, f ' (x) < 0, luego f(x) es decreciente

Si x > 1, f ' (x) > 0, luego f(x) es creciente.

Por definición x = - 1 es un máximo y x = 1 es un mínimo

(c)

Con los datos anteriores la gráfica de la función es :

donde la gráfica está en rojo, junto a la asíntota vertical y en azul está la asíntota oblicua