Ejercicio nº
2 de la opción B del modelo 2 de 1997
Dada una circunferencia de radio r, se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a la circunferencia dada. ¿Qué longitud debe tener cada uno de estos diámetros para que sea máxima el área de la región comprendida entre las circunferencias interiores y la exterior ( la región rayada en la figura)
Solución
Dividimos el diámetro 2r en dos partes x e y, con lo cual x + y = 2r
La función a optimizar es A = π.r2 - π.(x/2)2 - π.(y/2)2. Como y = 2r - x, tenemos
A = π.r2 - π/4.(x)2 - π/4.(2r - x)2. Derivándola tenemos
A ' = 0 - π/4.(2x) - π/4.[2.(2r - x)].( - 1) = - πx + πr.
Igualando a cero
A ' = 0, nos dá πx = πr, de donde x = r, y = 2r - r = r. Por tanto las dos circunferencias tienen el mismo radio que es la mitad del diámetro original.
Veamos que efectivamente es un máximo,
A '' = - π/2 - π /2 < 0, por tanto es un máximo.