Ejercicio nº
3 de la opción B del modelo 2 de 1997
(a) Halla el punto C que es la proyección ortogonal del punto B = ( 2, 1, 1 ) sobre el plano π : 2x+y-2z = - 6
(b) Halla el punto A que esté sobre el eje OX y tal que el área del triángulo ABC valga 6. ¿ Cuantas soluciones existen?
Solución
(a)
B(2,1,1)
π
≡ 2x + y - 2z + 6 = 0, con lo cual su vector normal es n = (2,1,-2)r es la recta perpendicular al plano π que pasa por el punto B, por tanto su vector director v = n, y su ecuación será:
r º
(x - 2)/2 = (y - 1)/1 = (z - 1)/(-2) = λque en vectorial sería (x,y,z) = (2+2λ ,1+λ ,1-2λ )
C es el punto de intersección de la recta r con el plano π , por tanto
0 = 2.(2+2λ) + (1+λ) - 2(1-2λ) = 9λ + 9, de donde λ = -1 con lo cual el punto C es
C = (2 + 2(-1), 1 + (-1), 1 -2.(-1) ) = ( 0,0,3)
(b)
Como el punto A está en el eje OX es de la forma A = (x,0,0)
El área del triángulo ABC es 1/2.½ ABxAC½ = 6
AB = (2 - x,1,1); AC = (0 -x, 0, 3), de donde
ABxAC = 
= i(3) - j(6 - 3x + x) + k(x) = (3,2x-6,x)
Operando y pasando todo a un miembro obtenemos 5x2 - 24x - 99 = 0, y resolviendo esta ecuación de segundo grado nos salen dos soluciones:
y 