Solucion del modelo 3 de 1997 opA ejer 1

Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 3 de 1997
Determina el valor de la constante k sabiendo que la curva de ecuación posee una asíntota que pasa por el punto ( 1, 3 ).
Solución
La única asíntota que posee esta función es una oblicua de la forma y = mx + n con m = lim_{x → + ∞}[ f(x) / x] y n = = lim_{→ + ∞}[ f(x) - mx] . m = lim_{x → + ∞} [ f(x) / x] = 1 n = = lim_{x → + ∞}[ f(x) - mx] = lim_{x → + ∞}[ (x³ + kx² +1) / (x² +1) - x ] = lim_{x → + ∞}[ (kx² - x + 1) / (x² + 1)] = k. La asíntota es y = mx + n = x + k, como dicen que pasa por el punto (1,3) tenemos 3 = 1 + k, de donde k = 2, y la asíntota es y = x + 2.