Ejercicio nº
2 de la opción B del modelo 3 de 1997
(a) Define el concepto de derivada de una función en un punto
(b) Estudia la derivabilidad de la función f : R → R definida por f(x) = |x| e x.
(c) Siendo f la función dada en el apartado anterior, calcula 
Solución
(a)
Una función f(x) es derivable en el punto x = a s y solo si existe el siguiente límite que se toma como derivada
(b)
f(x) = |
x|
e x =
Falta estudiar f ' (0), es decir tenemos que ver si f ' (0 +) = f ' (0 -)
f ' (0 +) = limx → 0+ f ' (x) = limx → 0 ( ex +x.ex ) = e0 + 0 = 1
f ' (0 -) = limx → 0 - f ' (x) = limx → 0 [ -( ex +x.ex ) ] = - (e0 + 0) = - 1
Como f ' (0 +) ≠ f ' (0 -), no existe f ' (0).
(c)
La integral 
x.ex dx es `por partes, tomamos u = x, dv = ex dx, con lo cual du = dx, v = ex dx = ex, y nos resulta
x.ex dx = x.ex - ex dx = x.ex - ex. Por tanto
= ( 1.e1 - e1 ) - (0.e0 - e0 ) = 0 + 1 = 1