Ejercicio nº
3 de la opción B del modelo 3 de 1997
Del sistema de ecuaciones
a11x + a12y = 0
a21x + a22y = 0
se conocen todas sus soluciones, que son x = λ , y = 2λ con λ variando en los números reales.
También se sabe que
Resuelve el sistema
a11x + a12y = 1,
a21x + a22y = 2
Solución
Del sistema
a11x + a12y = 0
a21x + a22y = 0
tomando las soluciones x = λ , y = 2λ , y sustituyéndolas en el sistema tenemos
a11λ + a12(2λ ) = 0
a21λ + a22(2λ ) = 0
Sacando factor común λ , y teniendo en cuenta que λ no tiene porqué ser cero, tenemos
a11(1) + a12(2) = 0
a21(1) + a22(2) = 0
Por otro lado de la ecuación
obtenemos
a11(2) + a12(1) = 1
a21(2) + a22(1) = 1
Resolviendo este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, obtenemos
a11 = 2/3; a12 = - 1/3 ; a21 = 4/3 y a22 = - 2/3
Por tanto el sistema original
a11x + a12y = 0
a21x + a22y = 0
nos queda como
2/3 x - 1/3 y = 0
4/3 x - 2/3 y = 0
Resolvemos ya el sistema que nos piden
2/3 x - 1/3 y = 1
4/3 x - 2/3 y = 2
La segunda ecuación es el doble de ñla primera, luego el sistem,a se reduce a la ecuación 2x - y = 3.
Tomando x = λ , tenemos y = 2x - 3 = 2λ - 3, y la solución es:
(x,y) = (λ , 2λ -3) con λ
∈ R