Ejercicio nº
1 de la opción B del modelo 1 de 1998
(a) Sabiendo que F es una primitiva de una función f, halla una primitiva de f que se anule en el punto x = a
(b) De una función g : R → R se sabe que es dos veces derivable y también que g(0) = 5, g '(0) = 0 y g ''(x) = 8, para todo x perteneciente a R . Calcula una expresión algebraica de esta función g.
Solución
(a)
Si F es una primitiva de f entonces F ' = f
Como se anula en x =a, F(a) + K = 0 de donde K = -F(a) y cualquier otra primitiva es de la forma G(x) = F(x) - F(a)
(b)
g es dos veces derivable, g(0) = 5, g ' (0) = 0 y g '' (x) = 8.
Por el teorema fundamental del calculo integral que dice: Si f(x) es continua en [a,b] entonces la función
es derivable y su derivada es
Aplicándolo a nuestro caso tenemos
Como g '(0) = 0, tenemos 0 = 0 + K, luego g '(x) = 8x + 0 = 8x
Volviendo a aplicar el Teorema fundamental del calcula integral
Como g(0) = 5, tenemos 5 = 0 + K, de donde K = 5. Por tanto g(x) = 4x2 + 5.