Ejercicio nº
3 de la opción B del modelo 1 de 1998
De la matriz A dada por
se sabe que no tiene inversa
(a) ¿Cuanto vale α ? Justifica la respuesta.
(b) Resuelve el sistema
(c) ¿Existe alguna solución de dicho sistema con y = -1 ?
Solución
(a)
Si la ,matriz 
no tiene inversa, su determinante es cero
de donde α = 9, puesto que A no tiene inversa.
(b)
Como | A| = 0, el rango de A es 2. Para que el sistema tenga solución el rango de la matriz de los coeficientes A* también tiene que ser 2, es decir el determinante formado por las dos primeras columnas de A y los términos independientes tiene que ser cero. Pero
con la cual rango de A* = 2, y el sistema tiene solución.
Como el rango es 2 solo se necesitan dos ecuaciones, y por comodidad elegimos las dos primeras
x - 2y + z = 3
2x + 3y + 5z = 2
Tomando z = λ
∈ R , nos queda el sistemax - 2y = 3 - λ
2x + 3y = 2 - 5λ
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos x = (13 - 13λ)/7 e y = ( -4 - 3λ)/7, es decir la solución de este sistema indeterminado es
(x,y,z) =
( (13 - 13λ)/7 , ( -4 - 3λ)/7 , λ)(c)
Cpomo me piden la solución para y = - 1, tenemos de la solución anterior
(x,y,z) =
( (13 - 13λ)/7 , ( -4 - 3λ)/7 , λ ) igualando los valores de "y"-1 = (-4 - 3λ ) / 7, de donde λ = 1, y sustituyendo tenemos:
(x,y,z) = ( (13 - 13.1) / 7 , ( -4 - 3.1) / 7 , 1 ) = ( 0 , -1 , 1 )