Ejercicio nº
2 de la opción A del modelo 2 de 1998
Se sabe que la función f : R → R dada por:
es derivable en todo su dominio y que en los puntos x = 0 y x = 4 toma el mismo valor.
(a) Halla a, b y c..
(b) Calcula 
Solución
(a)
Como la función es derivable en todo su dominio, también lo es en x = 1, y además es continua en x = 1. Nos dan además que f(0) = f(4)
Como existe f '(1), tenemos que f '(1 +) = f '(1 -)
f '(1 +) = lim x → 1 + f '(x) = lim x → 1 (c) = c
f '(1 -) = lim x → 1 - f '(x) = lim x → 1 ( 2x + a) = 2 + a
Como f '(1 +) = f '(1 -), tenemos que
c = 2 + a
Como es continua en x = 1
f(1) = lim x → 1 - f (x) = lim x → 1 - f (x)
lim x → 1 - f (x) = lim x → 1 ( x2 + ax + b ) = 1 + a + b
lim x → 1 + f (x) = lim x → 1 (cx) = c
Como los límites son iguales tenemos
c = 1 + a + b
De f (0) = f ( 4), tenemos f(0) = b = 4c = f(4)
Resolviendo este sistema
c = 2 + a
c = 1 + a + b
b = 4c
Obtenemos a = -7/4, b = 1 y c = 1/4
Con lo cual la función dada es
=
(b)
= 1/3 - 7/8 +1 + ( 1/2 - 1/8) = 5/6