(a) Los tres planos cuyas ecuaciones son, respectivamente,

se cortan en una recta.¿Cuanto vale a?

(b) Determina el simétrico del punto P=(1,0,1) respecto de la recta determinada en el apartado anterior.

(a)

Para que los tres plano s siguientes se corten en una recta

el rango(A) = rango(A^*) = 2, por tanto tiene que ser creo el determinante de la matriz de los coeficientes

= 6a - 6 = 0, de donde a = 1

Por tanto la recta pedida es

(b)

Para hallar el simétrico del punto P ponemos la recta r en vectorial, para lo cual sea z = λ ,

x + 2y = 1 - λ

2x + y = λ

Operando obtenemos (x,y,z) = (-1/3 + 1/3λ, 2/3 + 1/3λ, λ), con lo cual un vector director sería v = (1,1,3)

Calculamos el plano π que pasa por P(1,0,1) y corta perpendicularmente a la recta r, por tanto su vector normal n = v = (1,1,3)

Sea Q el punto de corte de la recta r con el plano P

(-1/3 + 1/3λ) + ( 2/3 + 1/3λ) + 3λ - 4 = 0, operando obtenemos λ = 11/12, con lo cual el punto Q es

Q(-1/3 + 1/3(11/12), 2/3 + 1/3(11/12),11/12) = (- 1/36, 35/36, 33/36)

El simétrico del punto P respecto de la recta r, es el simétrico del punto P respecto del punto Q, luego el punto Q es el punto medio del segmento PP ', siendo P ' el punto buscado

(- 1/36, 35/36, 33/36) = [ (1+x)/2, (0+y)/2, (1+z)/2], de donde obtenemos

P '(x,y,z) = (- 38/36, 70/36, 30/36)