Ejercicio nº
1 de la opción B del modelo 2 de 1998
Sea f : R → R
la función definida por f(x) = x2 + 
x + 1/4.
(a) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de la función f y sus tangentes en los puntos de abscisas x = 1/2 y x = - 1/2.
(b) Prueba que el eje de ordenadas divide el recinto anterior en dos que tienen igual área
Solución
La función f(x) = x2 + x + 1/4. , es una parábola con vértice en V(-/2, - 1/4)
f '(x) = 2x +
La recta tangente en x = a es y - f(a) = f '(a).(x - a), por tanto
La recta tangente en x = 1/2 es y - [(1 + )/2] = (1 +).(x - 1/2), simplificando queda y = (1 + )x
La recta tangente en x = - 1/2 es y - [(1 - )/2] = ( -1 +).(x + 1/2), simplificando queda y = ( -1 + )x
Por tanto las gráficas pedidas son:
(b)
Para ver que el eje de ordenadas divide el recinto anterior en dos que tienen igual área, tenemos que ver que las integrales siguientes son iguales:
Pero
Además 
Luego las dos regiones tienen igual área.