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Instrucciones |
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Duración: 1 HORA Y 30 MINUTOS Elige entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B, sin mezclar los de una opción con los de la otra. Cada ejercicio vale 2'5 puntos. Contesta las preguntas razonando tus conclusiones; la mera respuesta numérica no vale para obtener la puntuación máxima de cada apartado. Por favor, escribe de forma ordenada y con letra clara. Se permite el uso de calculadoras. |
modelo 4 de 1998 - Opción A |
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Ejercicio 1. En la figura adjunta se representa la gráfica de la función derivada f ' de una cierta función f : [0,1] → R .
(a) Halla una expresión algebraica de f sabiendo que su gráfica pasa por el origen de coordenadas. (a) Representa gráficamente la función f. (a) Estudia la derivabilidad de f '. Ejercicio 2. Se sabe que la temperatura, medida en grados centígrados, de una cámara frigorífica viene dada por la expresión f(t) = at2 +bt + c donde t representa las horas transcurridas desde su conexión a la res y a, b y c son tres constantes reales. Al conectarla, la temperatura interior asciende, por efecto del calor del motor, y alcanza su máximo a los tres cuartos de hora. A partir de ese momento comienza a descender la temperatura y transcurrida una hora desde su conexión alcanza los cero grados centígrados. A las dos horas de haberla conectado es de tres grados centígrados. Usando estos datos, determina los valores de las constantes a, b y c.Ejercicio 3. Sean π1 y π2 los planos de ecuaciones: π1 ≡ x - 2y + z+ 3 = 0 y π2 ≡ x - 2y + z - 4 = 0. Explica algún procedimiento para saber si un punto de R3 se encuentra entre π1 y π2 y aplícalo para saber si el punto P = ( 2, 2, 1 ) se encuentra o no entre dichos planos. Ejercicio 4.- Considera las matrices
¿Existe algún valor real l para el cual el sistema AX = l X tiene una solución distinta de la trivial? Si la respuesta es afirmativa, indica el valor de l y resuelve el sistema; si es negativa, di por qué.
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modelo 4 de 1998-Opción B |
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Ejercicio 1. Considera la función f : R → R definida por f(x) = | x + 1| .(a) Represéntala gráficamente. (b) Estudia su derivabilidad. (c) Calcula Ejercicio 2. La temperatura medida en una ciudad andaluza, desde las 12 horas del mediodía hasta la medianoche de un cierto día de Agosto, viene dada por la expresión T(x) = ax2 + bx + c, en la que x representa el número de horas transcurridas desde el mediodía.(a) Calcula a, b y c sabiendo que a las 5 de la tarde se alcanzó una temperatura máxima de 35º y que a las 12 del mediodía se midieron 30º. (b) Determina de forma razonada los puntos en los que la función anterior alcanza sus extremos absolutos y relativos.. Ejercicio 3. Sea A una matriz no nula dada y considera la ecuación matricial AX = A + X, donde X es la incógnita.(a) Encuentra la relación que debe existir entre las dimensiones de A y de X para que la ecuación tenga sentido.. (b) ¿ Puede ser la suma de dos soluciones una nueva solución? ¿ Y el producto de un número por una solución? Justifica la respuesta (c) Si
Ejercicio 4. Considera el tetraedro de vértices A = (1, 0, 0 ), B = (0, 1, 0 ), C = (0, 0, 1 ) y D = (0, 0, 0 ).(a) Halla la recta r que pasa por D y es perpendicular al plano determinado por los puntos A, B y C. (a) Halla la mínima distancia entre la recta r y la recta que pasa por los puntos A y B. (a) Calcula el volumen del tetraedro. |
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y 
y buscamos una solución de la forma
, discute la ecuación matricial que resulta y resuélvela cuando sea posible