Ejercicio nº
1 de la opción A del modelo 4 de 1999
Sea f : ( 0, +
∞) → R la función logaritmo neperiano f(x) = Ln(x).(a) [1 punto] Prueba que la función derivada f ' es decreciente en todo su dominio.
(b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función g: 0, + ∞) → R dada por g(x)=f(x)/x.
Solución
(a)
f(x) = Ln(x).
f '(x) = 1 / x
Para que f '(x) sea decreciente su derivada f ''(x) tiene que ser < 0, en todo su dominio, pero
f ''(x) = -1 / x2, la cual siempre es negativa.
(b)
g(x) = f(x) / x = ln(x) / x.
Estudiamos su primera derivada
g '(x) = [ (1 - ln(x)) / x2 ].
g '(x) = 0, nos dá 1 - ln(x) = 0, de donde ln(x) = 1, es decir x = e.
Como g'(x) > 0 si 0 < x < e, la función g(x) es creciente en 0 < x < e
Como g'(x) < 0 si x > e, la función g(x) es decreciente en x > e
Por definición en x = e hay un máximo relativo que vale g(e) = 1/e
Su gráfica es
