Ejercicio nº
2 de la opción B del modelo 4 de 1999
[ 2'5 puntos] Calcula una primitiva de la función f : R → R definida por f(x) = 2x2.sen(x) cuya gráfica pase por el origen de coordenadas
Solución
F(x) = 
f(x) dx = 2x2sen(x) dx = por partes = I
x2 = u; 2xdx = du
dv = sen(x) dx; v = sen(x) dx = -cos(x)
F(x) = I = 2.[ x2.(-cos(x)) + 2xcos(x) dx ] = 2.[ x2.(-cos(x)) +2xcos(x) dx ] =
= 2.[ x2.(-cos(x)) + 2.I1 ]
I1 = xcos(x) dx = x.sen(x) - sen(x) = x.sen(x) +cos(x)
Habiendo tomado u = x y dv = cos(x)dx. Luego
F(x) = 2.[ x2.(-cos(x)) + 2.I1 ] = 2.[ x2.(-cos(x)) + 2.( x.sen(x) +cos(x) ) ] =
= -2x2.cox(x) + 4x.sen(x) + 4cos(x) + K
Como F(0) = 0, tenemos 0 = 0+0+4.1 +K, de donde K = -4, y la primitiva pedida es
F(x) = -2x2.cox(x) + 4x.sen(x) + 4cos(x) - 4