Ejercicio nº
4 de la opción B del modelo 4 de 1999
(a) [ 2 puntos] ¿Cuál es el punto P de la recta r dada por
que está mas cerca del punto A = ( 2, 3, -1 ).
(b) [ 0'5 puntos] Halla el área del triángulo cuyos vértices son A, P y B = ( 1, 0, 0 )
Solución
(a)
El punto P de la recta r que está mas cerca del punto A es el que está en la proyección ortogonal, para lo cual calculamos el plano
π perpendicular a r por el punto A, y hallamos la intersección de dicho plano con la recta
Tomando z = λ
Nos queda la recta
x + y = 1 - 2λ
x - 2y = 1 + 4λ
resolviéndolo obtenemos x = 1, e y = -2λ , por tanto la recta r en vectorial es
r
≡ (x,y,z) = (1, -2λ , λ ). Luego un vector director de r es v = (0,-2,1)El plano
π pasa por el punto A(2,3,-1) y tiene como vector normal n = v = (0,-2,1), el director de la recta, luegoπ ≡ 0(x-2) - 2(y-3) + 1(z+1) = 0, de donde -2y + z + 7 = 0
El punto P = r ∩ π es
-2(-2λ) + λ + 7 = 0, de donde λ = -5/7 y el punto es P(1, -2(-7/5), -7/5) = P(1, 14/5, -7/5)
(b)
A(2,3,-1), B(1,0,0) , P(1, 14/5, -7/5)
El área pedida es 1/2 ½ BPxBA½
BP = (0, 14/5, -7/5)
BA = (1,3,-1)
= i(-14/5 +21/5) - j(7/5) + k(-14/5) = (7/5, -7/5, -14/5)
Área = 1/2 ½
BPxBA½
= 1/2.(49/25 + 49/25 + 196/25)(1/2) = 
u. a.