[ 2'5 puntos] Se sabe que la función f : [0,5] → R dada por

es derivable en el intervalo (0,5) y verifica f(0) = f(5). ¿Cuánto valen a, b y c?

Es derivable en (0,5), luego es continua en (0,5). En concreto existe f '(2), es continua en x = 2, y además f(0) = f(5)

0 =f(0) = f(5) = c + , es decir

0 = c + 2, de donde c = -2

f(x) es continua en x = 2 tenemos f(2) = lim _{x ® 2 +} f(x) = lim _{x ® 2 -} f(x)

De lim _{x → 2 -} f(x) = lim _{x → 2} ( c + ) = c + 1 = -2 + 1 = -1

De lim _{x → 2 +} f(x) = lim _{x → 2} ( ax + bx²) = 2a + 4b

Igualando tenemos - 1 = 2a + 4b

Como existe f '(2), tenemos que f '(2 ^-) = f '(2 ⁺)

f '(2 ^-) = lim _{x → 2 -} f '(x) = lim _{x → 2} (a + 2bx) = a + 4b

f '(2 ⁺) = lim _{x → 2 -+} f '(x) = lim _{x → 2} (1 / 2) = 1/2.

Igualando tenemos 1/2 =a + 4b. Tenemos

- 1 = 2a + 4b

1/2 =a + 4b

Resolviendo este sistema obtenemos a = -3/2 y b = 1/2.