Ejercicio nº
3 de la opción A del modelo 5 de 1999
[ 2'5 puntos] Halla el punto Q simétrico del punto P = (2,0,1) respecto de la recta r que pasa por el punto A=(0,3,2) y es paralela a la recta s de ecuaciones
(a) [ 1'5 puntos] Halla la recta que pasa por A y por el punto medio del segmento AB.
(b) [ 1 punto] Halla la recta paralela a la anterior que pasa por el punto (2, 2, 2 ).
Solución
La recta r que es paralela a la recta s tiene como vector director el de la recta s
Tomando y = λ , la recta s en vectorial es (x,y,z) = (-2λ , λ , 0) por tanto un vector director es v = (-2,1,0)
La recta r pasa por el punto A(0,3,2) y tiene como vector director v = (-2,1,0), luego su ecuación en vectorial es
r
≡ (x,y,z) = (-2λ , 3+λ , 2)Para hallar el simétrico del punto P(2,0,1) respecto de la recta r, calculamos el plano π que pasa por P y es perpendicular a r (n su vector normal n será el director de r v), determinamos el punto de corte de dicho plano π con la recta r (el punto M), y M será punto medio del segmento PQ, siendo Q el punto simétrico buscado
El plano π tiene como punto P(2,0,1) y vector normal n = v = (-2,1,0), su ecuación es
π ≡ -2(x-2) +1(y-0) +0(z-1) = -2x +y +4 = 0
El punto M intersección de r con π
-2(-2λ) + (3+λ) + 4 = 0, de donde λ = -7/5, y M( -2(-7/5), 3+(-7/5), 2 ) = M(14/5, 8/5, 2)
M es el punto medio de P(2,0,1) y del simétrico Q buscado
(14/5, 8/5, 2) = [ (2+x)/2, (0+y)/2, (1+z)/2 ], de donde x = 18/5, y = 16/5 y z = 3, por tanto el simétrico es Q(18/5, 16/5, 3).