Ejercicio nº
1 de la opción B del modelo 5 de 1999
[
2'5 puntos]
Dos partículas A y B se mueven en el plano XOY. En cada instante de tiempo t las posiciones de las partículas son, respectivamente A( 1/2(t -1), /2(1 - t)) y B = (2 - t, 0).
Determina el instante to en el que las partículas están más próximas entre sí y a qué distancia se hallan una de otra en ese instante.
Solución
Nos piden hacer mínima la distancia d(A,B) = ||AB||
AB = ( 2 - t - 1/2t - 1/2, - /2 +
/2.t ) = (
3/2(-t+1),
/2(t-1) )
Calculamos su primera derivada y la igualamos a cero y nos dará el mínimo
Igualando d ' = 0, obtenemos (t - 1).( 9/2 + 3/4) = 0, de donde t =1, que es el instante en el que están más próximas entre si.
Si sustituimos en d(A,B), la distancia es cero, pues los dos sumandos que hay dentro de la raíz son cero.