(a)
I =
[ sen(x) / (cos(x))3 ] dx con el cambio cos(x) = t; -sen(x) dx = dt
I =
[ sen(x) / (cos(x))3 ] dx =
( -dt / t3) = -
t -3 dt = - t -2 / (-2) = 1 / 2t2 = (quitando cambio) =
= 1 / 2(cos(x))2 + K
(b)
I =
[ sen(x) / (cos(x))3 ] dx con el cambio tan(x) = u; [ 1 / cos2 (x) ]dx = du
I =
[ sen(x) / (cos(x))3 ] dx =
[ {sen(x)/cos(x)}.{dx/cos2(x)} ] =
u.du = u2/2 = (quitando cambio) =
= (tan2(x))/2 + M
(c)
El resultado que se obtiene es el mismo pues hay que tener en cuenta que dos primitivas se diferencian en una constante, es decir
1 / [2cos2(x) ] = 1/2 tan2(x) + K = [sen2(x) / 2cos2(x) ] + K
1 = sen2(x) + 2Kcos2(x)
1 - sen2(x) = 2Kcos2(x)
cos2(x) = 2Kcos2(x)
De donde K = 1/2 ( también sale cos(x) = 0)