Ejercicio nº
3 de la opción B del modelo 5 de 1999
Considera la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 13
(a) [ 1'5 puntos] Represéntala indicando su centro y su radio
(b) [ 2 puntos] Halla el área de la figura limitada por las tres rectas siguientes:
(i) la recta tangente a la circunferencia en el punto A = (3,2)
(ii) la recta normal a la circunferencia en el punto A .
(iii) el eje de abscisas
Solución
(a)
Su centro es el punto (0,0) y su radio es 
(b)
La recta tangente en el punto A(3,2) es y - 2 = y '(3,2). (x - 3)
Hallamos la derivada implícita y calculamos el valor y '(3,2).
x2 + y2 = 13
Derivando en forma implícita
2x + 2y.y ' = 0, de donde y ' = -2x / 2y = -x / y. Por tanto
y '(3,2) = -3 / 2, y la recta tangente en A(3,2) es
y - 2 = -3/2( x - 3). Operando se obtiene y = -3/2x + 13/2
La pendiente m de una recta y la de su normal m ', verifican que m.m' = -1, por tanto la ecuación de la recta normal en el punto A(3,2) es
y - 2 = 2/3( x - 3)., y operando se obtiene y = 2/3x
Para hallar el área pedida nos fijamos en la figura
y lo que nos piden es el área del triángulo formado por la recta normal, la recta tangente y el eje de abscisas, pero
Área = 1/2base.altura = 1/2 (corte de la tangente con abscisas, que es 13/3 {hacer y = 0, en la tangente}).(la ordenada del punto A que es 2), luego
Área = 1/2.(13/3).2 = 13/3 u.a.
Este resultado también se puede obtener integrando, es decir
