Ejercicio nº
1 de la opción A del modelo 6 de 1999
(a) [ 1 punto] Dibuja la región limitada por la gráfica de la función f:[0,1] → R definida por f(x)=Ln(1+x), la recta tangente a la gráfica de f en el origen y la recta x=1.
(Nota: Ln(t) es el logaritmo neperiano de t).
(b) [ 1'5 puntos] Halla el área de dicha región.
Solución
(a)
f(x) = ln(1+x); f '(x) = 1/(x +1); f(0) = ln(1) = 0; f '(0) = 1/(0+1) = 1
Recta tangente en x = 0 es y - f(0) = f '(0)(x - 0). Es decir y - 0 = 1(x - 0), simplificando y = x
La gráfica de ln(1+x) ( en rojo) es igual que la de ln(x) pero desplazada una unidad a la izquierda . La gráfica de y = x (en azul) es una recta y con dos valores es suficiente.
(b)
Recordamos que ∫ln(x)dx = x.ln(x) - x, por tanto ∫ln(x+1)dx = (x+1).ln(x+1) - (x+1).
= 1/2 - ( 2ln(2) -2) - (0 - (0 - 1 )) = 3/2 - 2ln(2) ≈ 0 '1137 u.a.