Ejercicio nº
2 de la opción A del modelo 6 de 1999
La población de una colonia de aves evoluciona con el tiempo t, medido en años, según la función P:[2,12] ® Â dada por
(a) [ 1'5 puntos] Representa gráficamente la fución P e indica en qué periodos de tiempo crece o decrece la población.
(b) [ 0'5 puntos] Indica los instantes en los que la población alcanza los valores máximo y mínimo..
(c) [ 0'5 punto] Si la población evolucionara a partir de t=12 con la misma función que para 10< t £ 12, ¿llegaría a extinguirse? Justifica la respuesta dando, en caso afirmativo, el instante de la extinción
Solución
(a)
La gráfica de 10 + (t - 6)2 es la misma que la de la parábola t2 pero desplazada 6 unidades a la derecha en abscisas y 10 hacia arriba en ordenadas.
La gráfica de 28 - 2t - 9, es la misma que la de -2t , pero desplazada 9 unidades hacia la derecha en abscisas y 28 hacia arriba en ordenadas
Si t > 6 y t < 10, P '(t) > 0 luego P(t) crece
Si t < 6, P '(t) < 0, luego P(t) decrece
Si 10< t < 12, como 2a > 0, resulta que -2a < 0, luego P(t) decrece
(b)
En t = 6 hay un mínimo. Veamos las valores de P(t) en 2, 5, 10 y 12. El mayor será el máximo absoluto y el menor será el mínimo absoluto
P(2) = 26
P(6) = 10
P(10) = 26
P(12) = 20,
Por tanto alcanza el máximo absoluto en x = 2 y x = 10 y vale 26. Alcanza su mínimo absoluto en x = 6 y vale 10.
(c)
Si t > 10, P(t) = 28 - 2t-9.
La población llegaría a extinguirse si P(t) = 0, es decir 28 = 2t-9, es decir t - 9 = log2(28), por tanto se extinguiría cuando t = 9 + log2(28) ≈ 13'80735 años