Ejercicio nº
4 de la opción A del modelo 6 de 1999
Sea π el plano de ecuación π
≡ 3x-2y-6z=1 y sea r la recta dada en forma paramétrica porr ≡ (x,y,z)=(1,0,1)+λ(2,-1,1) (λ ∈ R )
(a) [ 0'5 puntos] ¿Cómo se define la relación de paralelismo entre una recta y un plano?
(b) 0'75 puntos] En el caso concreto de la recta r y el plano π , ¿cómo averiguarías si son paralelos? Comprueba si lo son.
(c) [ 0'5 puntos] ¿Cómo se define la relación de perpendicularidad entre una recta y un plano?
(d) 0'75 puntos] En el caso concreto de la recta r y el plano π , ¿cómo averiguarías si son perpendiculares? Comprueba si lo son.
Solución
(a)
π ≡ 3x-2y-6z=1, su vector normal es n = (3, -2, 6)
r ≡ (x,y,z)=(1,0,1)+λ(2,-1,1) (λ ∈ R) su vector director es v = (2, -1, 1)
r || π sii v ⊥ n sii v.n = 0
(b)
v.n = (2, -1, 1). (3, -2, 6) = 2 ¹ 0, por tanto no son paralelos la recta y el plano.
(c)
r ⊥ π sii v || n sii v.n ≠ 0 sii v = λ.n
(d)
como (2, -1, 1) ¹ λ (3, -2, 6), la recta y el plano no son perpendiculares.