Considera el punto P=(-1,2,1)

(a) [ 1 punto] Determina un punto Q del plano π ≡ -3x+y+z+5=0 de forma que el vector PQ sea perpendicular al plano π .

(b) [1 punto] Determina un punto M de la recta

de forma que el vector MP sea paralelo al plano π .

(c) [ 0'5 puntos] Calcula el área del triángulo MPQ

(a)

π ≡ -3x+y+z+5 = 0, su vector normal es n=(-3,1,1)

la recta s ⊥ a π por P es

Q = π ∩ s

-3(-1-3λ)+(2+λ)+(1+λ)+5 = 0. Operando se obtiene 11λ + 11 = 0, de donde λ = -1, y el punto Q sería

Q(-1-3(-1), 2+(-1), 1+(-1) ) = Q(2, 1 , 0 ) que es el punto pedido

(b)

, luego M( 2-λ, -1+λ, 10-λ)

π ≡ -3x+y+z+5 = 0, su vector normal es n=(-3,1,1)

= (-1-2+λ, 2+1-λ, 1-10+λ)

= -3(-3+λ)+1(3-λ)+1(-9+λ), de donde λ = 1 y M(2-1, -1-1, 10-1) = (1,-2,9)

(c)

Como el triángulo MPQ es rectángulo el área es 1/2 de cateto por cateto, es decir

(3,-1,-1), (2,-4,8)