Ejercicio nº
2 de la opción A del modelo 5 de 2000
Sea f la función definida para x
≠
2 por f(x) =
(a) [ 1 punto] Halla las asíntotas de la gráfica de f.
(b) [ 1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los extremos locales de f..
(c) [ 0'5 puntos] Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f.
Solución
(a)
Como f(x) =si x
x
= 2 es una A.V. porque
= 
= +
∞
. Análogamente 
= 
= -
∞
y = mx+n es una A.O. con m = 
=
= 1 y
n =
=
=
= - 2, por tanto la A.O. es y = mx+n = x - 2
Como 
= 0+, f(x) está por encima de la A.O. en +
Como 
= 0 -, f(x) está por debajo de la A.O. en -
∞
(le damos a x el valor - 1000)
(b)
Realizamos el estudio de f ' (x) para ver el crecimiento y decrecimiento
f(x) =
f ' (x) =
=
Si f ' (x) = 0 ® x(x+4) = 0, de donde x = 0 y x = - 4 que serán los posibles máximos o mínimos. No olvidemos que x = -2, es una A.V.
Como f ' (-5) =(+)/(+) >0 , f(x) crece en (- ∞ , -4)
Como f ' (-3) =(-)/(+) <0 , f(x) decrece en (-4, -2)
Como f ' (-1) =(-)/(+) <0 , f(x) decrece en (-2, 0)
Como f ' (1) =(+)/(+) >0 , f(x) crece en (0, + ∞ )
Por definición x = -4 es un máximo relativo con valor f(-4) = -8 y x = 0 es un mínimo relativo con valor f(0) = 0
(b)
Su gráfica es
