Ejercicio nº
4 de la opción A del modelo 5 de 2000
Solución
El simétrico del punto P respecto del plano
π es el simétrico del punto P respecto del punto Q, siendo Q la proyección ortogonal de P sobre π (hay que calcular la recta r perpendicular a π por el punto P, y después hallar la intersección de dicha recta con π )r
≡ recta perpendicular a π por P, punto P(1,2,-2) y vector director el normal de π , v = n = (3,2,1)r ≡
Q = r ∩ π
3(1+3λ) + 2(2+2λ) + (- 2+λ) - 7 = 0. Operando queda 14λ - 2 = 0, de donde λ = 1/7 y el punto es
Q(1+3/7, 2+2/7, -2+1/7) = Q(10/7, 16/7, -13/7)
Q es el punto medio del segmento PP ', siendo P ' el simétrico buscado luego
(10/7, 16/7, -13/7) = ( (1+x)/2, (2+y)/2, (-2+z)/2 ) de donde 10/7 = (1+x)/2; 16/7 = (2+y)/2 y -13/7 =(-2+z)/2 y operando obtenemos x = -13/7, y = 18/7 y z = -19/7 es decir P '(-13/7, 18/7, -19/7)