Examen modelo 3 (Sept.)de sobrantes de 2002

Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada 

Instrucciones

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Modelo 3 (Sept.) de sobrantes de 2002 - Opción A

Ejercicio 1. Consideremos F(x) = f(t) dt.

(a) [1'5 puntos] Si f fuese la función cuya gráfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta:

i) F(α) = 0.

ii) F' (α) = 0.

iii) F es creciente en (0,α).

(b) [1 punto] Calcula F(1) siendo f(t) = 1/[√(t+1)]

Ejercicio 2. Considera la función f definida por f(x) = (x2 - 2x + 2)/(x - 1)  para x ≠ 1

(a) [1'5 puntos] Calcula las asíntotas de la gráfica de f.

(b) [1 punto] Estudia la posición de la gráfica de f respecto de sus asíntotas.

Ejercicio 3.. [2'5 puntos] Considera la matriz A =

Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.

Ejercicio 4.- Los puntos A(1,0,2) y B(-1,0,-2) son vértices opuestos de un cuadrado.

(a) [1 punto] Calcula el área del cuadrado.

(b) [1'5 puntos] Calcula el plano perpendicular al segmento de extremos A y B que pasa por su punto medio.

 

Modelo 3 (Sept.) de sobrantes de 2002 - Opción B

Ejercicio 1. [2'5 puntos] Estudia la derivabilidad de la función f : (0,+ ∞ ) → R definida por

f(x) =. Calcula su derivada

Ejercicio 2. [2'5 puntos] Calcula (3x3 + 1)/(x2 - x - 2) dx

Ejercicio 3.  Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 

x + 3y + z = 3

2x + my + z = m

3x + 5 y + mz = 5

(a) [1 punto] Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.

(b) [1 punto] Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.

(c) [0'5 puntos] Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga solución.

Ejercicio 4. Considera el plano π ≡  x - y + 2z = 3 y el punto A( -1, -4,2)

(a) [1 punto] Halla la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por A.

(b) [1'5 puntos] Halla el punto simétrico de A respecto de π .