Ejercicio 1 del modelo 3 de la opción A de sobrantes
de 2002
Consideremos F(x) = 
f(t) dt.
(a) [1'5 puntos] Si f fuese la función cuya gráfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta:
i) F(α) = 0.
ii) F' (α) = 0.
iii) F es creciente en (0,α).
(b) [1 punto] Calcula F(1) siendo f(t) = 1/[√(t+1)]
Solución
(a) F(α) = 
f(t) dt
≠
0 porque nos daría el área encerrada por la función f(x), el eje OX entre x = 0 y x =
α
F '(x) = [f(t) dt]
' = f(x), según el teorema fundamental del calculo integral, luego F '(a
) = f(α) y según la gráfica se observa que f(α) = 0.
F es creciente en (0, α ) si y solo si F '(x) > 0 en (0, α ), pero F '(x) = f(x) que es mayor que cero en (0, α ), luego F(x) es creciente en dicho intervalo.
(b) F(1) = 
1/[√(t+1)]
dt = [2√(t+1)]10
= (2√(2)) - (2√(1)) = 2(√(2) - 1 )
Cambio t + 1 = x2
dt = 2x dx
ň 1/[Ö(t+1)] dt = ň 2x/[Ö(x2)] dx =ň 2x/x dx =ň 2 dx = 2x =(quito cambio) =2√(t+1)