Ejercicio nº
3 de la opción A del modelo 3 de 2002
[2'5 puntos] Considera la matriz A =
Calcula los valores de t para los que el determinante de A es positivo y halla el mayor valor que alcanza dicho determinante.
Solución
|A| = 2(2) - t(t - 3) + 0 = - t2 + 3t + 4, que es una función cuadrática. Es decir |A| = f(t) = - t2 + 3t + 4
t2 - 3t - 4 = 0; t = [(3 ± √(9+16)]/2 = (3 ± 5)/2
, luego las soluciones son t = -1 y t = 4, es decir la función dada es- f(t) si -
∞ < t < - 1 , puesto que f(-2) = -6 < 0+ f(t) si - 1 < t < 4 , puesto que f(0) = 4 > 0
- f(t) si 4 < t < + ∞ , puesto que f(5) = - 36 < 0
Por tanto el determinante es positivo si t Î (- 1,4)
|A| = f(t) = - t2 + 3t + 4 tiene por gráfica una parábola con las ramas hacia abajo, por tanto su máximo anula la 1ª derivada y hace negativa la 2ª derivada. Veámoslo
f '(x) = -2t + 3; f '(x) = 0 nos da -2t +3 = 0 de donde x = 3/2 = 1'5
f ''(x) = -2 < 0, luego x = 1'5 es un máximo que vale f(1'5) = -(1'5)2 + 3(1'5) + 4 = 6'25 = 25/4
Aunque no la piden la gráfica es
