Ejercicio nº
3 de la opción B del modelo 3 de 2002
Considera el siguiente sistema de ecuaciones :
x + 3y + z = 3
2x + my + z = m
3x + 5 y + mz = 5
(a) [1 punto] Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga una y sólo una solución.
(b) [1 punto] Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema tenga al menos dos soluciones.
(c) [0'5 puntos] Determina, si es posible, un valor de m para que el correspondiente sistema no tenga solución.
Solución
x + 3y + z = 3
2x + my + z = m
3x + 5 y + mz = 5
Matriz
de los coeficientes A = 
;
matriz ampliada A * =
|A| = 1(m2 - 5) - 3(2m - 3) + 1(10 - 3m) = m2 - 9m +14.
Resolvemos m2 - 9m +14 = 0 y sus soluciones son m = 2 y m = 7.
Si m ≠ 2 y m ≠ 7 , rango(A) = rango(A *) = 3 y el sistema es compatible y determinado, es decir tiene solución única.
Si m = 2
A = 
y
como 
= - 4 ≠
0, tenemos que rango(A) = 2
En A * =
,
como 
= 0 por tener dos
columnas iguales resulta que rango(A*) = 2.
Como rango(A) = rango(A *) = 2. el sistema es compatible e indeterminado, es decir tiene infinitas soluciones, en particular tiene dos.
Si m = 7
A = 
y
como 
= - 1 ≠
0, tenemos que rango(A) = 2
En A * =
,
como 
= 0 por tener dos
columnas iguales resulta que rango(A*) = 2.
Como rango(A) = rango(A *) = 2. el sistema es compatible e indeterminado, es decir tiene infinitas soluciones, en particular tiene dos.
No hay ningún valor de m para que el sistema no tenga solución