Ejercicio nº
4 de la opción B del modelo 3 de 2002
Considera el plano
π ≡ x - y + 2z = 3 y el punto A( -1, -4,2)(a)
[1 punto] Halla la ecuación de la recta perpendicular a
π
que pasa por A.
(b) [1'5 puntos] Halla el punto simétrico de A respecto de π .
Solución
π ≡ x - y + 2z = 3, su vector normal es n = (1,-1,2)
La recta que pasa por A y es perpendicular a π , tiene por punto A(-1,-4,2) y como vector director v el normal n = (1,-1,2)
La recta es r ≡
{x = -1 + l, y = -4 - l, z = 2 + 2l}(b)
Para calcular el simétrico del A se obtiene el punto Q intersección de la recta r con el plano π . El punto Q es el punto medio del segmento AA', siendo A' el simétrico buscado.
Q = r ∩ π
(- 1 +λ) - (- 4 - λ) + 2(2 + 2λ) = 3. Operando 6λ = - 4, de donde λ = -2/3
Q(-1 -2/3, -4+2/3, 2 - 4/3) = Q(-5/3, -10/3, 2/3)
Q es el punto medio del segmento AA' luego (-5/3, -10/3, 2/3) =[(x-1)/2, (y-4)/2, (z+2)/2]. Igualando tenemos
(x-1)/2 = -5/3 de donde x = -7/3
(y-4)/2 = -10/3 de donde y = -8/3
(z+2)/2 = 2/3 de donde z = -2/3
El simétrico A' (-7/3, -8/3, -2/3)