Ejercicio 1 del modelo 4 (junio) de la opción A de sobrantes
de 2002
Considera la función f : R → R definida por f(x) =e(2x)/(x.x + 1)
(a) [ 1 punto] Calcula las asíntotas de la gráfica de f
(b) [ 1'5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valor que alcanzan).
Solución
(a) Asíntotas
e(2x)/(x.x + 1) = e0 = 1, luego y = 1 es una A.H. en +
=
e(-2x)/(x.x
+ 1) =
e (x.x + 1)/(2x) =
1/e0 = 1/1 = 1, luego y = 1 es una A.H. en -
∞
(b) Monotonía. Estudio de f '(x)
f '(x) = [e(2x)/(x.x + 1) ]× [ (2(x2 + 1) -2x.2x)/(x2 + 1)2 ] =
= [ e(2x)/(x.x + 1) ]× [ (-2x2 + 2)/(x2 + 1)2 ]
f '(x) = 0 →
-2x2+2 = 0 → x2 = 1 → x = ± 1, que serán los posibles máximos o mínimosComo f '(-2) < 0, f(x) decrece en ( - ∞ , -1)
Como f '(0) = e0(2) > 0 , f(x) crece en ( - 1, +1)
Como f '(2) < 0, f(x) decrece en ( +1, + ∞ )
Por definición x = - 1 es un mínimo con valor f(1) = e1 = e , y x = 1 es un máximo valor f(-1) = e -1 = 1/e.
La gráfica de la función aunque no la piden es:
