Ejercicio nº
1 de la opción B del modelo 4 (junio) de 2002
Sea f la función f(x) = (9x-3)/(x2 -2x) para x ≠ 0 y x ≠ 2.
(a) [ 1 punto] Calcula las asíntotas de la gráfica de f
(b) [ 1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
(c) [ 0'5 puntos] Con los datos obtenidos esboza la gráfica de f .
Solución
(a) Asíntotas
Como 
[(9x-3)/(x2 -2x)] = (-3)/(0- ) = +
[(9x-3)/(x2
-2x)] = (-3)/(0+ ) = -
∞; para la posición
relativa
Como 
[(9x-3)/(x2
-2x)] = (15)/(0+ ) = +
∞
; la recta x = 2 es una asíntota vertical (A.V.)
[(9x-3)/(x2
-2x)] = (15)7(0- ) = -
∞
; para la posición relativa
Como 
[(9x-3)/(x2
-2x)] =0; la recta y = 0 es una asíntota horizontal (A.H.) en ±
∞
de f(x).
(b) Monotonía. Estudio de f '(x)
f '(x) = [9(x2 -2x) - (9x-3)(2x-2)] / (x2 -2x)2 = [-9x2 + 6x - 6] / (x2 -2x)2
f '(x) = 0; -9x2 +6x - 6 = 0 o bien 3x2 - 2x + 2 = 0, de donde x = [2 ± √(4-24)]/6
que no tiene soluciones reales, por tanto la función siempre es creciente o decreciente para lo cual sustituiremos un nº cualquiera en la primera derivada. Si nos da positivo la función es creciente y si nos da negativo la función es decreciente siempre.Probamos el 1, f '(1) = -9/1 = -9 < 0, luego la función siempre es decreciente.
Aunque no la piden la gráfica es
