Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada 

    Ejercicio nş 2 de la opción B del modelo 4 (junio) de 2002

[ 2'5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f(x) = x× e - x. Esboza el recinto limitado por la curva y = f(x), los ejes coordenados y la recta x = -1. Calcula su área.

Solución

f(x) = x× e - x = x/(ex )

x/(ex ) = {∞/∞} = {L´Hôpital } =   1/(ex ) = {1/∞} = 0, luego y = 0 es una A. H. en + ∞

x× e - x = (-x)× e -(-x) = (-x)× e x = (- ∞ )× ∞ = - ∞

Estudiemos f '(x) para ver su monotonía

f '(x) = 1.e-x + x.e-x.(-1) = e-x(1 - x)

f '(x) = 0; 1 - x = 0 de donde x = 1 que será el posible máximo o mínimo

Como f '(0) > 0, f(x) crece en (- ∞ , 1)

Como f '(2) < 0, f(x) decrece en (1, +∞ )

Por definición x = 1 es un máximo con valor f(1)= e-1.

Su gráfica es

Área == | [-e-x (x+1)]0-1 | = ÷ [(-1(1)) - (-e(0))]÷ = ô - 1ô = 1 u.a.

I = ň xe-x dx = -xe-x - ň -e-x dx = -xe-x + ň e-x dx = -xe-x - e-x

u = x ;     du = dx

dv = e-x ; v =ň e-x dx = - e-x