En la figura adjunta puedes ver representada parte de la gráfica de una función f que está definida en el intervalo (-3, 3) y que es simétrica respecto al origen de coordenadas.

(a) [0'75 puntos] Razona cual debe ser el valor de f(0).

(b) [0'75 puntos] Completa la gráfica de f.

(a)

Como la función f(x) es simétrica respecto al origen (0, 0) sabemos que f(-x) = - f(x), es decir al punto de coordenadas (x,y) del semiplano x > 0 le corresponde el punto (- x, - y) en el semiplano x < 0, es decir:

Al punto (1,1) le corresponde el punto (-1,-1)

Al punto (0⁺,1) le corresponde el punto (0^-, -1)

Al punto (1⁺,2) le corresponde el punto (-1^-, -2)

Al punto (3^- , 3^-) le corresponde el punto (-3⁺ , -3⁺)

A una recta le corresponde una recta

Como la función está definida en (-3,3) y es simétrica respecto al (0,0) la única posibilidad que nos queda para definir f(0), es que sea 0.

Por tanto la gráfica de f(x) es la siguiente

De la gráfica se observa que los límites laterales en x = 0 son los los siguientes

f(x) = + 1     y     f(x) = - 1 , por tanto no existe f(x), con lo cual no es continua en x = 0..

(b)

La gráfica de f(x) es la que ya he dibujado en el apartado (a)

Vamos a calcular su expresión analítica:

Si –3 < x < -1 la función es una recta y = mx+n que pasa por los puntos (-3,-3) y (-1,-2). Entrando con estos valores en y = mx+n tenemos el sistema

-2 = -m+n

-3 = -3m+n. Resolviéndolo obtenemos m = (1/2) y n = -(3/2) , por tanto y = (1/2)x – (3/2)

Si –1 £ x < 0, la función es la constante f(x) = -1.

Si 0 < x £ 1, la función es la constante f(x) = 1.

Si 1 < x < 3 la función es una recta y = mx+n que pasa por los puntos (3, 3) y (1, 2). Entrando con estos valores en y = mx+n tenemos el sistema

2 = m+n

3 = 3m+n. Resolviéndolo obtenemos m = (1/2) y n = (3/2) , por tanto y = (1/2)x + (3/2)

Resumiendo:

(c)

Como f(x) no es continua en x = 0, x = -1 y x = 1, tampoco es derivable en dichos puntos.

La función derivada sería