Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 2 de 2003
Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 2 de 2003
[2'5 puntos] Se sabe que la función f : R → R definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d es tal que f(0) = 4 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1, 2). Conociendo además que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es horizontal, calcula a, b, c y d.
Solución
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Nos dan f(0) = 4
Como (1, 2) es un punto de inflexión tenemos f ''(1) = 0 y además f(1) = 2
Como x = 0 es un punto de tangencia horizontal tenemos f '(0)= 0
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
f '(x) = 3ax2 + 2bx + c
f ''(x) = 6ax + 2b
De f '(0)= 0, tenemos 0 = 0 + 0 + c, luego c = 0
De f ''(1)= 0, tenemos 0 = 6a + 2b, luego b = - 3a
De f(1) = 2, tenemos 2 = a + b + c + d = a - 3a + d = -2a + d = 2
De f(0) = 4, tenemos 4 = 0 + 0 + 0 + d , luego d = 4
Operando tenemos 2a = 2 - d = 2 - 4 = 2, luego a = 1 y b = -3a = -3(1) = -3
Por tanto los coeficientes pedidos son a = 1, b = - 3 , c = 0 y d = 4