[2'5 puntos] Se sabe que la función f : R → R definida por f(x) = ax² + bx + c tiene máximo absoluto en el punto de abscisa x = 1, que su gráfica pasa por el punto (1, 4) y que f(x) dx = 32/2. Halla a, b y c.

La función que me han dado f(x) = ax² + bx + c es polinómica por tanto continua y derivable las veces que haga falta en R .

Como x = 1 es un máximo absoluto, también es un máximo relativo luego f '(1) = 0

Como pasa por (1,4) tenemos que f(1) = 4

También tenemos f(x) dx = 32/2 = 16, con estas tres condiciones calcularemos a, b y c

f(x) = ax² + bx + c

f '(x) = 2ax + b

De f '(1) = 0 tenemos 0 = 2a + b, luego b = - 2a

De f(1) = 4 tenemos 4 = a + b + c = a - 2a + c = - a + c = 4, luego c = 4 + a

De f(x) dx = 16 tenemos 16 = [ax² + bx + c] dx = [ax³/3 + bx²/2 + cx]³_-1 =

= (9a + (9/2)(-2a) + 3(4 + a)) - (-a/3 +(1/2)(-2a) -1(4+a)) = 9a - 9a +12 +3a +a/3 +a + 4 + a

Es decir 16 = 16 + 5a + a/3 = 16 + a(5 + 1/3), es decir a(5 + 1/3) = 0, de donde a = 0, b = 0 y c = 4. Por tanto la función que me han dado es la constante f(x) = 4.

Su gráfica, aunque no lo piden es