Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 2 de 2003
Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 2 de 2003
[2'5 puntos] Determina razonadamente los valores de m para los que el sistema de ecuaciones
2x + y + z = mx
x + 2y + z = my
x + 2y + 4z = mz
tiene más de una solución.
Solución
El sistema
2x + y + z = mx
x + 2y + z = my
x + 2y + 4z = mz
, pasándolo todo a un miembro, y sacando factor común, es el sistema homogéneo
(2-m)x + y + z = 0
x + (2-m)y + z = 0
x + 2y + (4-m)z = 0
Sabemos que un sistema homogéneo de tres ecuaciones con tres incógnitas tiene solución distinta de la trivial (0,0,0) si y solo si el determinante de la matriz de los coeficientes es cero, es decir
= 0 = {Desarrollo por los adjuntos de la primera fila} =
= (2-m)[(2-m)(4-m) - 2] - 1(4-m - 1) + 1[2-(2-m) = (2-m)[m2 - 6m + 6) +m - 3 + m =
= - m3 + 8m2 -16m + 9
Sacamos una raíz por Ruffini
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-1 |
8 |
-16 |
9 |
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1 |
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-1 |
7 |
-9 |
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-1 |
7 |
-9 |
0 |
Luego - m3 + 8m2 -16m + 9 = (x - 1)(-x2 + 7x - 9) = 0, de donde
x - 1 = 0, que nos da como solución x = 1, y
-x2 + 7x - 9 = 0, que nos dan como soluciones x = 
.
Por tanto para x = 1, x = 
y x = 
, el sistema homogéneo dado tiene solución distinta de la trivial y es compatible e indeterminado, y tiene mas de una solución.