[ 2'5 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 1, -1), es paralela al plano

3x - y + z = 4 y corta a la recta intersección de los planos x + z = 4   y   x - 2y + z = 1.

Trazamos el plano paralelo a 3x - y + z = 4 que pasa por el punto A(3, 1, -1), que es

3x - y + z = k, le imponemos la condición de que pase por (3, 1, -1)

3(3) - (1) + (-1) = k, de donde k = 7, es decir el plano es 3x - y + z = 7

Como la recta r está contenida en el plano 3x - y + z = 7, y corta a la recta intersección de los planos x + z = 4 y x - 2y + z = 1, la recta r pasa por el punto B punto de corte de los planos 3x - y + z = 7, x + z = 4 y x - 2y + z = 1.

Resolvemos el sistema

3x - y + z = 7

x + z = 4

x - 2y + z = 1, para calcular el punto B

3x - y + z = 7

x + z = 4

x - 2y + z = 1

3x - y + z = 7 Operando {2ª +1ª(-1); 3ª + 1ª(-3)} queda

x + z = 4

0 - 2y + 0 = -3

0 - y + -2z = -5, de donde despejando resulta

y = 3/2,

2z = 15 - y = 5 - 3/2 = 7/2, de donde z = 7/4

x = 4 - x = 4 - 7/4 = 9/4

Luego el punto de corte es B(9/4, 3/2, 7/4)

La recta que me piden es la que pasa por los punto A y B, luego tomo como punto el A y como vector v = AB = (9/4-3,3/2-1,7/4+1) = ( - 3/4 , 1/2 , 11/4). Otro vector paralelo a la recta es w =(-3,2,11)