Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 2 de 2003
Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 2 de 2003
Considera la recta r
≡
y el plano
π
≡
x - 2y + z = 0.
(a) [1 punto] Calcula el haz de planos que contienen a la recta r.
(b) [1'5 puntos] Halla el plano que contiene a la recta r y corta al plano p en una recta paralela al plano z = 0.
Solución
recta r ≡
y el plano
(a)
El haz de planos que contiene a la recta r es (x + y - z - 1) + λ(y - 2 ) = 0 con λ
∈ R(x + y - z - 1) + λ(y - 2 ) = x + (1 + λ)y - z - (1 + 2λ) = 0
(b)
El plano que contiene a la recta r es de la forma x + (1 + λ)y - z - (1 + 2λ) = 0
La recta s que corta al plano anterior (falta determinar el λ) y al plano
π ≡ x - 2y + z = 0, tiene de ecuaciones en implícita:x + (1 + λ)y - z - (1 + 2λ) = 0
x - 2y + z = 0
Un vector director w de dicha recta s es
w = 
= i(1+λ
-2) -j(1+1) +k(-2-1-λ) = (λ
- 1, - 2, -3 -λ)
Si la recta s es paralela al plano z =0, el vector director w de s es perpendicular al vector normal n de z = 0, luego su producto escalar es cero, es decir:
w•n = (l - 1, - 2, -3 -λ )•(0,0,1) = -3 - λ = 0, de donde λ = -3, y el plano pedido es
x + (1 + (-3))y - z - (1 + 2(-3) ) = x - 2y - z + 5 = 0