Examen de Junio 2003. Modelo 4

Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Instrucciones

a) Duración: 1 hora Y 30 minutos

b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamemente y con letra clara.

d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Junio 03 - Opción A

Ejercicio 1. [2'5 puntos] Sea Ln(1 -x2) el logaritmo neperiano de 1 - x2 y sea f : (-1,1) → R la función definida por f(x) = Ln(1 - x2). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).

Ejercicio 2.[2'5 puntos] Se sabe que la función f : R → R definida por f(x) = x3 + ax2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = - 1. Conociendo además que f(x) dx = 6, halla a, b y c.

Ejercicio 3. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0),

(a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean linealmente independientes.
(b) [1'25 puntos] Determina los valores de a para que los vectores u + v y u - w son ortogonales.

Ejercicio 4.[2'5 puntos] Sabiendo que las rectas r ≡ x = y = z y s ≡ , se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s respectivamente que están a mínima distancia.

Junio 03-Opción B

Ejercicio 1. Dada la parábola y = 1 + x2 y la recta de ecuación y = 1 + x, se pide:

(a) [1'5 puntos] Área de la región limitada por la recta y la parábola.

(b) [1'25 puntos] Ecuación de la recta paralela la dada que es tangente a la parábola.

Ejercicio 2. Considera la función f : R → R definida por f(x) = (x+3).e -x

(a) [0'5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f

(b) [1'5 puntos] Determina los extremos relativos de f y los puntos de inflexión de su gráfica.

(c) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de f.

Ejercicio 3. Sean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula indicando las propi9edades que utilices:

(a) [0'S puntos] El determinante de A3.

(b) [0'5 puntos] El determinante de A-1.

(c) [0'S puntos] El determinante de 2A.

(d) [1 punto] El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente 3C1 - C3, 2C3 y C2.

Ejercicio 4.[2'5 puntos] Determina el punto P de la recta r ≡ (x - 1)/2 = (y + 1)/1 = z/3 que equidista de los planos π1 ≡ x + y + z + 3 = 0 y π2 ≡