Modelo 1. Examen de septiembre 2003

Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Instrucciones

a) Duración: 1 hora Y 30 minutos

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara.

d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

septiembre 03 - Opción A

Ejercicio 1. [2'5 puntos] Calcula [Ln(1+x) - senx]/[x.senx], siendo Ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x

Ejercicio 2. Sea f : R → R la función definida por f(x) = e x/3.

(a) [1 punto] ¿En que punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas? Halla la ecuación de dicha recta tangente.

(b) [1'5 puntos] Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas

Ejercicio 3. Considera las matrices A = , B = y C = .

(a) [1'25 puntos] ¿Para que valores de m tiene solución la ecuación matricial A.X + 2B = 3C?

(b) [1'25 puntos] Resuelve la ecuación matricial dada para m = 1.

Ejercicio 4. Se sabe que los puntos A(1,0,-1), B(3,2,1) y C(-7,1,5) son vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD.

(a) [1 punto] Calcula las coordenadas del punto D

(b) [1'5 puntos] Halla el área del paralelogramo.

septiembre 03-Opción B

Ejercicio 1. [2'5 puntos] Sea f : (0, + ∞ ) → R la función definida por f(x) = (x-1).Ln(x), donde Ln(x) es el logaritmo neperiano de x. Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1, -3/2).

Ejercicio 2. [2'5 puntos] Estudia la derivabilidad de la función f : R → R definida por

f(x) = .

Ejercicio 3. Considera las matrices A = y X = .

(a) [1'25 puntos] Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ para los que la matriz A + λI no tiene inversa.

(b) [1'25 puntos] Resuelve el sistema A.X = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones.

Ejercicio 4. [2'5 puntos] Los puntos A(1,1,0) y B(2,2,1) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabe que los vértices C y D están contenidos en una recta que pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.