Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada 

   Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 1 de 2004

[2’5 puntos] Considera el punto A(0, 1, − 1), la recta r ≡ y el plano π ≡ x − 2y − z = 2. Halla la ecuación de la recta "s" que pasa por A, es paralela a π y corta a r.

Solución

Ponemos la recta r ≡ , en forma vectorial para lo cual tomamos z = λ , sustituimos y nos queda

x – 2y = - λ

2x = - 4 + λ, de donde x = - 2 + λ/2, y por tanto 2y = x + λ = - 2 + λ/2 + λ = -2 + (3/2)λ , con lo cual y = -1 + (3/4)λ .

La recta "r" en vectorial es (x,y,z) = (- 2 + (1/2)λ , -1 + (3/4)λ , λ )

La recta "s" que me piden corta a "r", por tanto tomo un punto genérico X de la recta "r" que sería :

X(x,y,z) = (- 2 + (1/2)λ , -1 + (3/4)λ , λ )

Otro punto de la recta "s" es A(0,1,-1)

Un vector director de la recta "s" sería XA = (+ 2 - (1/2)λ , 1 + 1 - (3/4)λ , -1 - λ )

Como la recta "s" es paralela al plano π ≡ x − 2y − z = 2, el vector director de la recta "s", XA , es perpendicular al vector normal del plano n = (1, -2, -1); por tanto su producto escalar es cero.

XA•n = 0

(+ 2 - (1/2)λ , 1 + 1 - (3/4)λ , -1 - λ)•(1,-2,-1) = 0 = -1 + 2λ , de donde λ =1/2

El punto X es X(- 2 + (1/2)(1/2), -1 + (3/4)(1/2), (1/2)) = X(-7/4, -5/8, 1/2)

El vector director es XA = (+ 2 - (1/2)(1/2), 1 + 1 - (3/4)(1/2), -1 – (1/2) ) = (7/4, 13/8, -3/2)

La recta "s" pedida es (x,y,z) = ( -7/4 +(7/4)× μ , -5/8 + (13/8) × μ , 1/2 – (3/2) × μ )